La Torre Pendente di Pisa, a forma circolare, comprende un
massiccio pianoterra ad arcata cieca, sei piani di arcate aperte ed
un tamburo piuttosto piccolo. Mentre la simmetria di un cerchio è
infinita, il numero di elementi architettonici della torre riduce
la simmetria ad un valore finito. La simmetria da 15 e da 30 della
Torre Pendente è estremamente rara, se non addirittura unica. Gli
architetti pisani di quei tempi amavano i rapporti matematici nei
disegni architettonici: sapevano bene cosa realizzavano nel
costruire un campanile pentadecagonale.
Il Battistero non è armonioso quanto la torre. Consta di quattro livelli; insieme alla ghirlanda di archi al secondo livello, ci sono cinque elementi da analizzare. Il pianoterra romanico si compone di 20 archi ciechi sostenuti da 20 pilastri. Il secondo livello manifesta una simmetria dodecagonale che crea una notevole dissonanza con il primo livello. Che questo "scontro" non sia più marcato dipende dalla ghirlanda, che presenta 60 archi sostenuti da altrettante colonne. Dato che 3 x 20 = 60 = 5 x 12, si crea un legame coerente fra il secondo livello, quello inferiore e quello superiore ad esso. Il terzo livello torna ad una simmetria da 20. La simmetria dodecagonale della cupola presenta di nuovo un contrasto notevole con il primo e il terzo livello.
Entrando nel Battistero, lo spettatore è impressionato dal drammatico movimento verticale dei pilastri e delle colonne nel centro dello spazio interno, movimento che termina nella cupola. Tutto l'interno è subordinato alla predominante simmetria dodecagonale. Si nota però ancora un altro contrasto marcato: esclusa la cupola, all'interno ci sono solo due livelli corrispondenti ai tre livelli dell'esterno.
Gli scontri di simmetria aiutano a ricostruire la storia della costruzione del Battistero. Nel 1185 il primo progetto per l'esterno fu sostituito con quello di Guidolotto che, se non fu proprio l'autore del disegno della Torre Pendente, ne fu fortemente influenzato. Il suo progetto per il Battistero unisce il pentagono ed il pentadecagono regolari, che appaiono per la prima volta nella costruzione del campanile. Il capolavoro di Guidolotto non piacque però a tutti; nel 1221 circa, le discussioni al riguardo finirono con il trionfo della simmetria dodecagonale. Intorno al 1278, avvenne un ulteriore cambiamento con il ritorno della simmetria icosagonale.
Le conseguenze degli scontri sulla simmetria determinarono una continua ricerca di riconciliazione. Nonostante le evidenti dissonanze, il Battistero appare particolarmente suggestivo nelle notti di plenilunio.
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